C Forme d'équilibre des cristaux

1 Construction de Wulff

Un germe cristallin qui croît suffisamment lentement aura comme forme la surface d'énergie minimale : cette surface minimale, contrairement aux liquides et aux matériaux isotropes, n'est pas une sphère dans les cristaux.

Pour trouver cette surface, on utilise la construction de Wulff : on trace la courbe $\gamma(\theta)$ en coordonnées polaires, et la forme d'équilibre s'en déduit (à un facteur homothétique près) en traçant l'enveloppe des normales au rayon vecteur de $\gamma(\theta)$ (cette courbe est appelée la podaine).

Le dessin ci-contre représente la construction pour plusieurs angles $\theta$. La podaine apparaît en tirets, elle est l'enveloppe des normales au rayon vecteur (en pointillés).

2 Démonstration à deux dimensions

On part de la courbe $\gamma(\theta)$, et on en trace la podaine. On cherche à montrer que celle-ci est la surface d'équilibre, la pression de Laplace y est donc constante. Cela signifie qu'on doit donc avoir :

$$\cfrac{\gamma+\gamma''}{R}=constante.$$ (9.11)

Considérons un point $P$ de la podaine : c'est la normale au rayon vecteur en un point $M$ de la courbe qui est tangente à la podaine en $P$. L'orientation de la surface en $P$ est donc $\theta$. Il nous faut donc exprimer $\gamma$ et $\gamma''$ en $\theta$, et le rayon de courbure $R$ de la podaine en $P$.

On note $r$ et $\phi$ les coordonnées polaires du point $P$. Notons également $s$ l'abscisse curviligne le long de la podaine. Les vecteurs unitaires dans la base polaire sont notés $\vect{u_\theta}$ et $\vect{v_\theta}$ en $\theta$, et de même en $\phi$.

Le rayon de courbure en $\phi$ s'écrit :

$$R = \frac{ds}{d\theta},$$ (9.12)

où l'on a :

$$ds = \Vert\vect{dP}\Vert = \sqrt{dr^2+(r\,d\phi)^2},$$ (9.13)

et par conséquent :

$$R = \sqrt{\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 + \left(r\frac{d\phi}{d\theta}\right)^2}\,.$$ (9.14)

Il nous faut donc exprimer $r$ et $\phi$ en fonction de $\theta$, $\gamma$ et $\gamma''$. Commençons par $r$. Il est égal à :

$$r = OP = \frac{OM}{\cos(\phi-\theta)} = \frac{\gamma}{\cos(\phi-\theta)},$$ (9.15)

expression que l'on peut dériver :

$$\gamma'=\frac{d\gamma}{d\theta} = \frac{dr}{d\theta}\cos(\phi-\theta) - r\left(\frac{d\phi}{d\theta}-1\right)\sin(\phi-\theta)\,.$$ (9.16)

Or, la droite $(MP)$ étant tangente à la podaine en $P$, le vecteur $\vect{dP}$ de la variation de $P$ sur la courbe est parallèle à $\vect{v_\theta}$ :

$$0 = \vect{dP}.\vect{u_\theta} = dr\, \vect{u_\phi}.\vect{u_\theta} + r\,d\phi\,\vect{v_\phi}.\vect{u_\theta}$$

$$= dr\cos(\phi-\theta) - r\,d\phi\sin(\phi-\theta),$$ (9.17)

ce qui permet de simplifier l'expression 9.16 :

$$\gamma' = r \sin(\phi-\theta) = PM\,.$$ (9.18)

On peut alors écrire :

$$r = \sqrt{\gamma^2 + \gamma'^2}$$ (9.19)

$$\frac{dr}{d\theta} = \frac{2\gamma\gamma'+2\gamma'\gamma''}{2\sqrt{\gamma^2+\gamma'^2}} = \frac{\gamma'}{r}(\gamma+\gamma'').$$ (9.20)

Reste alors à calculer $\phi$. L'équation 9.17 nous donne :

$$\frac{d\phi}{dr} = \frac{1}{r\tan(\phi-\theta)} = \frac{1}{r}\,\frac{OM}{PM} = \frac{\gamma}{r\gamma'}\,,$$ (9.21)

et on en déduit :

$$\frac{d\phi}{d\theta} = \frac{d\phi}{dr}\,\frac{dr}{d\theta} = \f... ...'}\,\frac{\gamma'}{r}(\gamma+\gamma'') = \frac{\gamma}{r^2}(\gamma+\gamma'')\,.$$ (9.22)

Ainsi, le rayon de courbure en $P$ vaut :

$$R = \sqrt{\frac{\gamma'^2+\gamma^2}{r^2}(\gamma+\gamma'')^2} = \gamma + \gamma'',$$ (9.23)

ce qui signifie que :

$$\frac{\gamma + \gamma''}{R} = 1.$$ (9.24)

Ainsi, par homothétie à partir de cette courbe, on obtient la forme du cristal à l'équilibre thermodynamique, donc celle qu'il acquiert lors de sa croissance, connaissant les variations de la tension de surface $\gamma(\theta)$.