C Force exercée par un film mince

On considère toujours un film de liquide compris entre une phase $I$ et une phase $II$. Si ce film est épais, la force tangentielle qu'il exerce est la somme des tensions de surface des deux interfaces successives. Cependant, comme il devient mince, il nous faut considérer les interactions entre $I$ et $II$.

Considérons un volume $V$ de matière, incluant une aire $A=L_xL_y$ de film. Celui-ci exerce sur le film qui l'entoure une force $\hat{f}$ par unité de longueur. On se place à pression extérieure $P_{ext}$ imposée, à volumes $V_I$ et $V_{II}$ constants, et à nombre de molécules $N_L$ dans le liquide constant. Le travail reçu par le système lors d'une transformation est donc^6.1 :

$$\delta W = dF^\Sigma.$$ (6.18)

L'énergie libre surfacique est ici :

$$F^\Sigma = \Omega^\Sigma + \mu_LN_L$$ (6.19)

$$= -P_LdV + A\left(\gamma_{I/L}+\gamma_{II/L}+W(e)\right),$$ (6.20)

l'équation 6.18 s'écrit donc :

$$-P_{ext}\,dV + \hat{f}\,dA = -P_L\,dV + dA\,\left(\gamma_{I/L}+\gamma_{II/L}+W(e)\right) + A\frac{dW}{de}de$$ (6.21)

$$= \left(\frac{dW}{de} - P_L\right)\,dV + \left(\gamma_{I/L}+\gamma_{II/L}+W(e)-e\frac{dW}{de}\right).$$ (6.22)

Or, on sait (équation 6.4) que :

$$P_L = P_{ext}+\frac{dW}{de},$$ (6.23)

et on a par conséquent :

$$\hat{f} = \gamma_{I/L}+\gamma_{II/L}+W(e) - e\frac{dW}{de},$$ (6.24)

que l'on écrit :

$$\boxed{\hat{f} = \tilde{\gamma}_{I/II}(e) + e\,\Pi_d(e)}\,.$$ (6.25)

$\tilde{\gamma}_{I/II}$ représente l'énergie surfacique effective de l'interface $I/II$ mouillée par le liquide. Le terme supplémentaire $e\Pi_d(e)$ est dû à la différence de pression entre le liquide et l'extérieur.

Notes

... donc^6.1

Dans l'absolu, il faudrait également tenir compte du travail de déformation des phases solides s'il y en a, qui vient s'ajouter à cette valeur, mais il ne concerne que l'énergie volumique de la phase considérée.