F Mesures de forces de surface

1 Les pinces optiques

On considère une bille d'un matériau 2, placée dans un milieu 1. On envoie deux faisceaux laser sur cette bille. Dans certaines conditions, la pression électrostatique, qui s'exerce à l'interface à cause de la différence entre les constantes diélectriques, tend à confiner la particule. Ce confinement peut être utilisé pour déplacer la particule avec ces « pinces » optiques.

Ce confinement se traduit par des forces qui tendent à ramener la bille au point de convergence. En exerçant sur la bille une autre force de valeur connue, par exemple une force magnétique, qui peut les compenser, on peut les mesurer.

2 La microscopie à force atomique

Ce type de microscopie a été inventé par Binning, Quate et Gerber en 1986, comme dérivé de la microscopie à effet tunnel. Elle consiste à approcher une pointe, d'un rayon de courbure de l'ordre de 50 nm, très près de la surface qu'on cherche à étudier.

La pointe est montée sur un levier nommé cantilever, de longueur $l$ (de l'ordre de 100 $µ$m). Elle est appuyée sur la surface, dont la hauteur en ce point est $z$. Le levier subit alors une déviation angulaire :

$$\alpha = \frac{z-z_0}{l},$$ (5.22)

faisant dévier à son tour le faisceau laser de $2\alpha$. L'impact est à son tour dévié de :

$$\zeta = 2\alpha L.$$ (5.23)

Si la résolution au niveau de la photodiode est de 0,1 $µ$, la résolution en hauteur sur la surface est :

$$\Delta z = \frac{l}{2L} \Delta \zeta = 0,1~µ\text{m}\times\frac{100~µ\text{m}}{2\times 5~cm} = 1~\text{\AA}$$ (5.24)

L'AFM (pour Atomic Force Microscopy) peut donc atteindre la résolution atomique, verticalement. Son application principale est donc l'imagerie des surfaces. Pour cela, on monte la surface sur des céramiques piézo-électriques permettant de la déplacer dans les directions $x$ et $y$, et la pointe sur un troisième piézo-électrique la faisant se déplacer dans la direction $z$. On ajuste la position verticale $z_0$ de la pointe pour avoir une force constante au fur et à mesure que l'on se déplace latéralement sur la surface. On obtient alors l'image d'une surface équipotentielle.

Une autre application est la mesure des forces de surface proprement dites, entre la pointe et la surface. En effet, à l'équilibre, celles-ci sont égales à la force de rappel exercée par le levier, elle-même proportionnelle au déplacement de la pointe par rapport à sa position d'équilibre :

$$F = k(z-z_0),$$ (5.25)

où k est la constante de raideur du cantilever, de valeur très variable.

Pour une position $z_0$ de la pointe par rapport à la surface, il y a, selon les endroits, une ou trois positions d'équilibre possibles. Pour calculer lesquelles sont stables, il nous faut calculer l'énergie potentielle totale du système :

$$U_{pot} = U(z) + \frac{k}{2}(z-z_0)^2,$$ (5.26)

$$\text{d'où}~~~\frac{d^2U_{pot}}{dz^2} = -\frac{dF}{dz} + k.$$ (5.27)

On a alors $\cfrac{d^2U_{pot}}{dz^2} > 0$ lorsque $k>\cfrac{dF}{dz}$. Ainsi, sur les trois positions d'équilibre, celle du milieu est instable, les deux autres étant stables.

Ainsi, il y a toute une zone où deux positions sont admissibles pour la pointe. Comme on le voit sur le schéma ci-contre, cela implique que, lorsqu'on approche la pointe de la surface, celle-ci passe brusquement d'une position d'équilibre à l'autre au moment où seule l'une des deux devient possible. Ainsi, la pointe que l'on approche et que l'on éloigne subit un cycle d'hystérésis, à cause duquel il y a toute une zone sur laquelle il est impossible de mesurer $F$.

De plus, pour avoir une bonne résolution en $F$, il faut que $k$ soit suffisamment petit. Dans ce cas, on va uniquement pouvoir mesurer la force d'arrachement (en fait, le minimum de la courbe). Cette valeur est à prendre avec précaution si la surface n'est pas parfaitement plane, car elle dépend alors de la géométrie de la pointe.

Par contre, si on accroche une macromolécule entre la pointe et la surface, on peut mesurer les forces que celle-ci exerce sur l'une ou l'autre, et déterminer certaines propriétés de la molécule.

3 Les appareils de mesure de forces de surface

Ces appareils, appelées communément SFA, permettent de mesurer les forces exercées entre deux plans de matériaux 1 et 2, mais en s'affranchissant des contraintes sur l'angle entre les deux plans que la mesure brutale impliquerait.

Cette technique consiste à approcher l'une de l'autre deux sphères, ou une sphère et un plan, constitués des matériaux à étudier, et à mesurer la force s'exerçant entre elles quand la distance les séparant devient petite devant leurs rayons.

Afin de calculer la force qui s'exerce entre les deux sphères, on utilise l'approximation de Derjaguin : elle consiste à supposer que chaque élément de surface n'interagit qu'avec l'élément de surface situé en face de lui. La force totale qui attire les deux sphères s'écrit donc :

$$F = \int f(z)\cdot 2\pi x\,dx,$$ (5.28)

où $f(z)$ est la force par unité de surface entre deux éléments de surface placés à la distance $z$. Or, ici on a

$$z = z_1 + D + z_2,$$ (5.29)

et il nous faut donc trouver la relation entre $z$ et $x$. Celle-ci nous est donnée par la relation avec les rayons de courbure :

$$\begin{array}\{{rcccl}. R_1^2 &=& x^2+(R_1-z_1)^2 &=& x^2 + ... ... x^2+(R_2-z_2)^2 &=& x^2 + R_2^2 - 2R_2z_2 + z_2^2 \end{array}$$

On en déduit :

$$x^2 = 2z_1(R_1-z_1) \approx 2R_1z_1,$$

$$\text{d'où}~~~2x\,dx = 2R_1\,dz_1 = 2R_2\,dz_2,$$

$$\text{soit enfin}~~~dz = dz_1 + dz_2 = 2x\,dx\left(\frac{1}{2R_1}+\frac{1}{2R_2}\right).$$ (5.30)

On en déduit la force qui attire les deux sphères :

$$F = \int_D^\infty 2\pi \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}f(z) dz$$ (5.31)

$$= 2\pi \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} \left[-W(z)\vphantom{\frac{a}{a}}\right]_D^\infty.$$

Finalement, la force qui attire les deux sphères est proportionnelle à l'énergie d'interaction par unité de surface entre deux plans parallèles des deux mêmes matériaux :

$$\boxed{F(D) = \frac{2\pi R_1R_2}{R_1+R_2}W(D)}\,.$$ (5.32)