C L'ascension capillaire

1 Contact du liquide sur une paroi

Considérons un liquide reposant dans un récipient : le long des parois, que nous allons supposer planes, il forme un angle de contact $\theta$, déterminé par la loi d'Young. Cela induit donc une déformation de la surface au voisinage de la paroi.

Pour calculer le profil de cette déformation, on peut utiliser la loi de Laplace. En tout point de la surface, la pression du liquide est reliée à la pression atmosphérique (que nous supposerons constante) :

$$P_L = P_{atm} - \frac{\gamma}{r},$$ (4.7)

$r$ étant ici le rayon de courbure au point $(x,z)$ dans le plan de $(xOz)$, défini comme étant positif sur le schéma.

Or, on connaît également la distribution de pression dans le liquide, supposé incompressible :

$$P_L = P_{atm} - \rho g z.$$ (4.8)

On a donc $\rho gz = \cfrac{\gamma}{r}$. De plus, on connaît la courbure locale d'une courbe du plan :

$$r^{-1} = \frac{d\varphi}{ds},$$ (4.9)

$s$ étant l'abscisse curviligne dans le sens « montant », avec donc $ds = \sqrt{dx^2+dy^2}$, et $\varphi$ donné par $\tan\varphi = \cfrac{dz}{dx}$.

On en déduit :

$$\rho gz = \gamma \frac{d\varphi}{ds} = \frac{\gamma\;d\varphi}{dx\sqrt{1+\tan^2\varphi}} = \frac{\gamma\;d\varphi\cos\varphi\tan\varphi}{dz}$$ (4.10)

$$\rho gz\;dz = \gamma\sin\varphi\;d\varphi$$

$$\frac{1}{2}\rho gz^2 = -\gamma\cos\varphi + constante$$

$$= \gamma\;(1-\cos\varphi)$$ (4.11)

$$= 2\gamma\sin^2\frac{\varphi}{2}$$ (4.12)

On a donc :

$$\boxed{z = 2\;l_c\sin\frac{\varphi}{2}}$$ (4.13)

La déformation de la surface est donc de l'ordre de la longueur capillaire. Pour $\theta = 0$, la hauteur maximale d'ascension est $z_{max}=\sqrt{2}\;l_c$, soit pour l'eau un peu plus de 3 mm.

2 Loi de Jurin

On plonge un tube capillaire dans un liquide. Sous l'effet de la déformation de la surface au voisinage des parois, le niveau du liquide dans le capillaire est différent de celui du récipient. On cherche donc à calculer la hauteur $h$ de laquelle le liquide est monté.

Pour cela, on suppose que les effets capillaires sont prépondérants dans le tube. Cela revient à poser que le rayon $r$ du capillaire est petit devant $l_c$. On peut alors considérer que la pression du liquide est la même sur toute la surface du ménisque. Celle-ci, en vertu de la loi de Laplace, est alors une calotte sphérique de rayon $\rho$.

On voit bien, sur le dessin ci-contre, que le rayon de la calotte sphérique est :

$$\rho = \frac{r}{\cos\theta},$$ (4.14)

où $\theta$ est l'angle de contact sur la surface.

La pression du liquide au niveau du ménisque est donc :

$$P_L = P_{atm} - \frac{2\gamma}{\rho}$$ (4.15)

$$= P_{atm} - \rho gh\,.$$ (4.16)

Par conséquent :

$$h = \cfrac{2\gamma\cos\theta}{\rho gr}$$ (4.17)

$$\boxed{h = l_c^2\cdot\frac{2\cos\theta}{r}}$$ (4.18)

Par exemple, pour de l'eau dans un capillaire de verre ($\theta = 0$) de rayon $r=1$ mm, on a $h=14$ mm.

Pour $r=1~µ$m, on a $h=14$ m. Cependant, la pression atmosphérique équivalant à une colonne d'eau de 10,33 m, la pression dans l'eau au niveau du ménisque serait négative. On s'attend donc à observer, dès que la pression descend en-dessous de $P_{sat}$, des bulles de vapeur d'eau formées par cavitation. Mais le rayon de ces bulles serait inférieur au rayon du capillaire, ce qui implique que la pression à l'intérieur serait supérieure à la pression atmosphérique, donc très largement supérieure à $P_{sat}$.

Ainsi, les bulles n'étant pas stables dans ces conditions, on a effectivement une pression négative dans le tube ! Ceci n'est en fait pas si étonnant, sachant qu'un solide peut exercer une force de rappel élastique dans tous les sens. Un liquide sur lequel on « tire » peut donc lui aussi exercer une force attractive sur les parois de son récipient.

3 Cas inverse : la descente capillaire

Si le liquide ne mouille pas les parois du tube capillaire (c'est-à-dire si $\theta > \frac{\pi}{2}$), les effets inverses sont observés.

Ces propriétés sont par exemple celles du mercure. Elles sont utilisées en porosimétrie au mercure : pour faire rentrer du mercure dans les pores d'un solide, il faut appliquer une pression, d'autant plus grande que le rayon des pores est petit.

Pour chaque pression appliquée, les pores de rayon supérieur à $\cfrac{2\gamma\cos\theta}{P}$ se remplissent de mercure. La mesure du volume de mercure injecté en fonction de la pression d'injection conduit donc à la distribution en taille des pores.