B Surface d'énergie minimale

1 Position du problème

On recherche la forme que va prendre une surface d'aire $L_x\cdot L_y$ à l'équilibre. Pour ce faire, on se place à température et pression externe constantes. Le potentiel thermodynamique à considérer est alors :

$$G^\star = F + P_{ext}V.$$ (3.5)

Une petite variation de $G^\star$ s'écrit donc :

$$\delta G^\star = \gamma\;\delta A - P_{int}\delta V + P_{ext}\delta V.$$ (3.6)

La surface est modélisée par la fonction $\xi(x,y)$ qui représente sa hauteur au point $(x,y)$.

On recherche la forme de la surface à l'équilibre. Dans cette situation, une variation $\delta\xi$ dans la fonction $\xi$ à l'équilibre doit entraîner une variation $\delta G^\star = 0$ (car on est alors au minimum de $G^\star$).

2 Calcul unidimensionnel

Afin de simplifier le calcul, on considère que le système est uniforme dans la direction $y$. La hauteur de la surface est donc la fonction $\xi(x)$.

L'aire d'un élément de surface de dimensions à la base $dx$ et $dy$ est alors :

$$dA = \sqrt{1+\xi'(x)^2}\;dx\;dy.$$ (3.7)

L'équation 3.6 s'écrit donc :

$$0 = \delta G^\star = (P_{ext}-P_{int})\iint\delta\xi(x)\;dx\;dy + \gamma\iint\delta(dA)$$ (3.8)

$$= (P_{ext}-P_{int}) L_y \int_0^{L_x} \delta\xi(x)\;dx + \gamma L_y \int_0^{L_x} \frac{2\xi'(x)}{2\sqrt{1+\xi'(x)^2}}\cdot\delta\xi'(x)\;dx$$ (3.9)

$$= \ldots + \gamma L_y\left[\frac{\xi'(x)}{\sqrt{1+\xi'(x)^2}}\delta... ..._y \int_0^{L_x} \frac{\xi''(x)}{\left(1+\xi'(x)^2\right)^{3/2}}\delta\xi(x)\;dx$$ (3.10)

Cette dernière expression est nulle pour toutes valeurs de la fonction $\delta\xi$. On peut donc choisir $\delta\xi$ telle que $\delta\xi(0) = \delta\xi(L_x) = 0$, et on a alors :

$$\int_0^{L_x}\left(P_{ext} - P_{int} - \gamma\frac{\xi''(x)}{\left(1+\xi'(x)^2\right)^{3/2}}\right)\delta\xi(x)\;dx = 0.$$ (3.11)

Les fonctions considérées étant continues, il faut, pour que cette intégrale s'annule partout quelle que soit la valeur de $\delta\xi(x)$, que l'on ait en tout point :

$$P_{ext} - P_{int} = \gamma\frac{\xi''(x)}{\left(1+\xi'(x)^2\right)^{3/2}}\,.$$ (3.12)

3 Conséquences

Le calcul à deux dimensions donnerait le résultat suivant (similaire) :

$$\frac{P_{ext} - P_{int}}{\gamma} = C(x,y)\,.$$ (3.13)

Le second membre de l'équation 3.13 est égal à la courbure locale moyenne de la surface définie par $\xi(x,y)$, c'est-à-dire le $$\frac{2}{R}$$ de l'équation 3.4.

Dans le cas (fréquent) où $P_{int}$ et $P_{ext}$ sont uniformes, on a une surface de courbure constante. C'est par exemple le cas d'une goutte de liquide placée en impesanteur : sa forme est sphérique.

Autre exemple : pendant longtemps, pour trouver la surface minimale de courbure nulle qui joignait deux formes (ci-contre, deux anneaux), on utilisait des films de savon. En effet, avec $P_{ext} = P_{int}$, la courbure doit être nulle sur toute la surface, et l'aire de celle-ci est bien entendu minimisée pour minimiser $F$.